☛ * Sens de variations

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-3(x-1)^2\). Démontrer que la fonction \(f\) est croissante sur \(]~-\infty~;~1~]\) et décroissante sur \([~1~;+\infty~[\). 

Solution 

Étape 1 : on va démontrer que \(f\) est croissante sur \(]~-\infty~;~1~]\).
Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\leq1\).
\(\begin{align*} a<b\leq1&\Leftrightarrow a-1<b-1\leq0\\&\Leftrightarrow(a-1)^2>(b-1)^2\geq0 \text{ car la fonction carré est décroissante sur }]~-\infty~;~0~]\\&\Leftrightarrow -3(a-1)^2<-3(b-1)^2\leq0 \text{ car }-3<0\\&\Leftrightarrow f(a)<f(b)\leq0\end{align*}\)On a démontré que, pour \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\leq1\) , \(f(a)<f(b)\) donc la fonction \(f\)  est croissante \(]~-\infty~;~1~]\).

Étape 2 : on va démontrer que \(f\) est décroissante sur \([~1~;+\infty~[\). 
Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(1\leq a<b\).

\(\begin{align*}1\leq a<b&\Leftrightarrow0\leq a-1<b-1\\&\Leftrightarrow0\leq(a-1)^2<(b-1)^2 \text{ car la fonction carré est croissante sur }[~0~;~+\infty~[\\&\Leftrightarrow 0\geq-3(a-1)^2>-3(b-1)^2 \text{ car }-3<0\\&\Leftrightarrow 0\geq f(a)>f(b)\end{align*}\)

On a démontré que pour \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(1\leq a<b\), \(f(a)>f(b)\) donc la fonction \(f\) est décroissante sur \([~1~;+\infty~[\).